Практическое занятие 4. Перевод чисел из одной системы в другую
Упражение 1. Выполните перевод числа 2610 в двоичную систему счисления по правилам, данным ниже:
а) исходное целое число делится на основание системы счисления, в которую переводится (на 2 - при переводе в двоичную систему счисления); получается частное и остаток;
б) если полученное частное меньше основания системы счисления, в которую выполняется перевод, процесс деления прекращается, переходят к шагу в). Иначе над частным выполняют действия, описанные в шаге а);
в) все полученные остатки и последнее частное преобразуются в соответствии с таблицей перевода в цифры той системы счисления, в которую выполняется перевод;
г) формируется результирующее число: его старший разряд – полученное последнее частное, каждый последующий младший разряд образуется из полученных остатков от деления, начиная с последнего и кончая первым. Таким образом, младший разряд полученного числа – первый остаток от деления, а старший – последнее частное.
Результат:
Таким образом, 2610 = 110102.
Проверка правильности перевода: для выполнения проверки необходимо каждую цифру умножить на основание системы,соответствующей степени, и получаемое произведение сложить. Степени расставляются от знака "=", начиная с 0 справа налево.
Упражение 2. Выполнить перевод числа 12310 в шестнадцатеричную систему счисления по правилам, данным ниже:
а) исходное целое число делится на основание системы счисления, в которую переводится (на 16 - при переводе в шестнадцатеричную); получается частное и остаток;
б) если полученное частное меньше основания системы счисления, в которую выполняется перевод, процесс деления прекращается, переходят к шагу в). Иначе над частным выполняют действия, описанные в шаге а);
в) все полученные остатки и последнее частное преобразуются в соответствии с таблицей перевода в цифры той системы счисления, в которую выполняется перевод;
г) формируется результирующее число: его старший разряд – полученное последнее частное, каждый последующий младший разряд образуется из полученных остатков от деления, начиная с последнего и кончая первым. Таким образом, младший разряд полученного числа – первый остаток от деления, а старший – последнее частное.
Результат:
Здесь остаток 11 преобразован в шестнадцатеричную цифру В (см. таблицу значений) и после этого данная цифра вошла в число.
Таким образом, 12310 = 7В16.
Упражение 3. Выполните перевод числа 100112 в десятичную систему счисления по правилам , данным ниже:
При переводе числа из двоичной системы в десятичную надо это число представить в виде суммы степеней основания его системы счисления.
Результат:
100112 = 1*24 + 0*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 = 16+0+0+2+1 = 1910.
Таким образом, 100112 = 1910.
Упражение 4. Выполнить перевод числа 1316 в десятичную систему счисления по правилу, данному ниже:
При переводе числа из шестнадцатеричной системы в десятичную надо это число представить в виде суммы степеней основания его системы счисления.
Результат:
1316 = 1*161 + 3*160 = 16 + 3 = 1910.
Таким образом, 1316 = 1910.
Упражение 5. Выполните перевод числа 100112 в шестнадцатеричную систему счисления
а) исходное число разбивается на тетрады (т.е. 4 цифры), начиная с младших разрядов. Если количество цифр исходного двоичного числа не кратно 4, оно дополняется слева незначащими нулями до достижения кратности 4;
б) каждая тетрада заменятся соответствующей шестнадцатеричной цифрой в соответствии с таблицей (см. таблицу значений).
Результат:<
Поскольку в исходном двоичном числе количество цифр не кратно 4, дополняем его слева незначащими нулями до достижения кратности 4 числа цифр. Имеем:
Упражение 6. Переведите 1316 в двоичную систему счисления
а) каждая цифра исходного числа заменяется тетрадой двоичных цифр в соответствии с таблицей (см. таблицу значений). Если в таблице двоичное число имеет менее 4 цифр, оно дополняется слева незначащими нулями до тетрады;
б) незначащие нули в результирующем числе отбрасываются.
Результат:
- 116 = 12 и после дополнения незначащими нулями двоичного числа 12 = 00012;
- 316 = 112 и после дополнения незначащими нулями двоичного числа 112 = 00112.
Тогда 1316 = 000100112. После удаления незначащих нулей имеем 1316 = 100112.
Упражение 7. Переведем число 0,3910 в двоичную систему счисления по данному правилу:
При переводе дробной части числа из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления, нужно дробную часть числа последовательно умножать на основание новой системы счисления. Дробная часть числа в новой системе счисления записывается как последовательность целых частей от умножения, записанных в прямом порядке, начиная с первого.
Результат:
Точность - 8 разрядов (в данном случае точность перевода выбрана произвольно). Если выписать целые части в прямом порядке, то получим 0.3910=0.011000112
Самый первый ноль (на рисунке перечёркнут синим) выписывать не нужно - так как он относится не к дробной части, а к целой. Некоторые по ошибке записывают этот ноль после запятой, когда выписывают результат.
Упражение 8. Переведите число 0,3910 в шестнадцатеричную систему счисления
При переводе дробной части числа из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления, нужно дробную часть числа последовательно умножать на основание новой системы счисления. Дробная часть числа в новой системе счисления записывается как последовательность целых частей от умножения, записанных в прямом порядке, начиная с первого.
Результат:
Точность - 8 разрядов в данном случае точность снова выбрана произвольно. Если выписать целые части в прямом порядке, то получим 0.3910=0.63D700A316
При этом Вы, наверное, заметили, что целые части при умножении получаются в десятичной системе счисления. Эти целые части, полученные при переводе дробной части числа следует интерпретировать точно так же, как и остатки при переводе целой части числа. То есть, если при переводе в шестнадцатеричную систему счисления целые части получились в таком порядке: 3, 13, 7, 10, то соответствующее число будет равно 0.3D7A16 (а не 0.31371016, как некоторые иногда ошибочно записывают).
Упражение 9. Выполните перевод из двоичной системы счисления в десятичную числа 0,11012 по следующему правилу:
В этом случае рассчитывается полное значение числа по формуле (см. тема 4), причем коэффициенты ai принимают десятичное значение в соответствии с таблицей (см. таблицу значений).
Результат:
Имеем:
0,11012 = 1*2-1 + 1*2-2 + 0*2-3 +1*2-4 = 0,5 + 0,25 + 0 + 0,0625 = 0,812510.
Расхождение полученного результата с исходным числом вызвано тем, что процедура перевода в двоичную дробь была прервана.
Таким образом, 0,11012 = 0,812510.
Упражение 10. Выполните перевод из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную числа 0,D8D16. Правила перевода:
В этом случае рассчитывается полное значение числа по формуле (см. тема 4), причем коэффициенты ai принимают десятичное значение в соответствии с таблицей (см. таблицу значений).
Результат:
Имеем:
0,D8D16 = 13*16-1 + 8*16-2 + 13*16-3 = 13*0,0625 + 8*0,003906 + 13* 0,000244 = 0,8469210.
Расхождение полученного результата с исходным числом вызвано тем, что процедура перевода в шестнадцатеричную дробь была прервана.
Таким образом, 0,D8D16 = 0,8469210.
Упражение 11. Выполните перевод из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную числа 0,00101012 по следующим правилам:
а) исходная дробь делится на тетрады, начиная с позиции десятичной точки вправо. Если количество цифр дробной части исходного двоичного числа не кратно 4, оно дополняется справа незначащими нулями до достижения кратности 4;
б) каждая тетрада заменяется шестнадцатеричной цифрой в соответствии с таблицей (см. таблицу значений).
Результат:
Поскольку количество цифр дробной части не кратно 4, добавим справа незначащий ноль:
В соответствии с таблицей 00102 = 102 = 216 и 10102 = A16.
Тогда 0,00101012 = 0,2A16.
Упражение 12. Выполните перевод из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную числа 0,2А16. Для этого:
а) каждая цифра исходной дроби заменяется тетрадой двоичных цифр в соответствии с таблицей (см. таблицу значений);
б) незначащие нули отбрасываются.
Результат:
По таблице имеем 216 = 00102 и А16 = 10102.
Тогда 0,2А16 = 0,001010102.
Отбросим в результате незначащий ноль и получим окончательный ответ: 0,2А16 = 0,00101012.
Упражение 1. Выполните перевод числа 2610 в двоичную систему счисления по правилам, данным ниже:
а) исходное целое число делится на основание системы счисления, в которую переводится (на 2 - при переводе в двоичную систему счисления); получается частное и остаток;
б) если полученное частное меньше основания системы счисления, в которую выполняется перевод, процесс деления прекращается, переходят к шагу в). Иначе над частным выполняют действия, описанные в шаге а);
в) все полученные остатки и последнее частное преобразуются в соответствии с таблицей перевода в цифры той системы счисления, в которую выполняется перевод;
г) формируется результирующее число: его старший разряд – полученное последнее частное, каждый последующий младший разряд образуется из полученных остатков от деления, начиная с последнего и кончая первым. Таким образом, младший разряд полученного числа – первый остаток от деления, а старший – последнее частное.
Результат:
Таким образом, 2610 = 110102.
Проверка правильности перевода: для выполнения проверки необходимо каждую цифру умножить на основание системы,соответствующей степени, и получаемое произведение сложить. Степени расставляются от знака "=", начиная с 0 справа налево.
Упражение 2. Выполнить перевод числа 12310 в шестнадцатеричную систему счисления по правилам, данным ниже:
а) исходное целое число делится на основание системы счисления, в которую переводится (на 16 - при переводе в шестнадцатеричную); получается частное и остаток;
б) если полученное частное меньше основания системы счисления, в которую выполняется перевод, процесс деления прекращается, переходят к шагу в). Иначе над частным выполняют действия, описанные в шаге а);
в) все полученные остатки и последнее частное преобразуются в соответствии с таблицей перевода в цифры той системы счисления, в которую выполняется перевод;
г) формируется результирующее число: его старший разряд – полученное последнее частное, каждый последующий младший разряд образуется из полученных остатков от деления, начиная с последнего и кончая первым. Таким образом, младший разряд полученного числа – первый остаток от деления, а старший – последнее частное.
Результат:
Здесь остаток 11 преобразован в шестнадцатеричную цифру В (см. таблицу значений) и после этого данная цифра вошла в число.
Таким образом, 12310 = 7В16.
Упражение 3. Выполните перевод числа 100112 в десятичную систему счисления по правилам , данным ниже:
При переводе числа из двоичной системы в десятичную надо это число представить в виде суммы степеней основания его системы счисления.
Результат:
100112 = 1*24 + 0*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 = 16+0+0+2+1 = 1910.
Таким образом, 100112 = 1910.
Упражение 4. Выполнить перевод числа 1316 в десятичную систему счисления по правилу, данному ниже:
При переводе числа из шестнадцатеричной системы в десятичную надо это число представить в виде суммы степеней основания его системы счисления.
Результат:
1316 = 1*161 + 3*160 = 16 + 3 = 1910.
Таким образом, 1316 = 1910.
Упражение 5. Выполните перевод числа 100112 в шестнадцатеричную систему счисления
а) исходное число разбивается на тетрады (т.е. 4 цифры), начиная с младших разрядов. Если количество цифр исходного двоичного числа не кратно 4, оно дополняется слева незначащими нулями до достижения кратности 4;
б) каждая тетрада заменятся соответствующей шестнадцатеричной цифрой в соответствии с таблицей (см. таблицу значений).
Результат:<
Поскольку в исходном двоичном числе количество цифр не кратно 4, дополняем его слева незначащими нулями до достижения кратности 4 числа цифр. Имеем:
Упражение 6. Переведите 1316 в двоичную систему счисления
а) каждая цифра исходного числа заменяется тетрадой двоичных цифр в соответствии с таблицей (см. таблицу значений). Если в таблице двоичное число имеет менее 4 цифр, оно дополняется слева незначащими нулями до тетрады;
б) незначащие нули в результирующем числе отбрасываются.
Результат:
- 116 = 12 и после дополнения незначащими нулями двоичного числа 12 = 00012;
- 316 = 112 и после дополнения незначащими нулями двоичного числа 112 = 00112.
Тогда 1316 = 000100112. После удаления незначащих нулей имеем 1316 = 100112.
Упражение 7. Переведем число 0,3910 в двоичную систему счисления по данному правилу:
При переводе дробной части числа из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления, нужно дробную часть числа последовательно умножать на основание новой системы счисления. Дробная часть числа в новой системе счисления записывается как последовательность целых частей от умножения, записанных в прямом порядке, начиная с первого.
Результат:
Точность - 8 разрядов (в данном случае точность перевода выбрана произвольно). Если выписать целые части в прямом порядке, то получим 0.3910=0.011000112
Самый первый ноль (на рисунке перечёркнут синим) выписывать не нужно - так как он относится не к дробной части, а к целой. Некоторые по ошибке записывают этот ноль после запятой, когда выписывают результат.
Упражение 8. Переведите число 0,3910 в шестнадцатеричную систему счисления
При переводе дробной части числа из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления, нужно дробную часть числа последовательно умножать на основание новой системы счисления. Дробная часть числа в новой системе счисления записывается как последовательность целых частей от умножения, записанных в прямом порядке, начиная с первого.
Результат:
Точность - 8 разрядов в данном случае точность снова выбрана произвольно. Если выписать целые части в прямом порядке, то получим 0.3910=0.63D700A316
При этом Вы, наверное, заметили, что целые части при умножении получаются в десятичной системе счисления. Эти целые части, полученные при переводе дробной части числа следует интерпретировать точно так же, как и остатки при переводе целой части числа. То есть, если при переводе в шестнадцатеричную систему счисления целые части получились в таком порядке: 3, 13, 7, 10, то соответствующее число будет равно 0.3D7A16 (а не 0.31371016, как некоторые иногда ошибочно записывают).
Упражение 9. Выполните перевод из двоичной системы счисления в десятичную числа 0,11012 по следующему правилу:
В этом случае рассчитывается полное значение числа по формуле (см. тема 4), причем коэффициенты ai принимают десятичное значение в соответствии с таблицей (см. таблицу значений).
Результат:
Имеем:
0,11012 = 1*2-1 + 1*2-2 + 0*2-3 +1*2-4 = 0,5 + 0,25 + 0 + 0,0625 = 0,812510.
Расхождение полученного результата с исходным числом вызвано тем, что процедура перевода в двоичную дробь была прервана.
Таким образом, 0,11012 = 0,812510.
Упражение 10. Выполните перевод из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную числа 0,D8D16. Правила перевода:
В этом случае рассчитывается полное значение числа по формуле (см. тема 4), причем коэффициенты ai принимают десятичное значение в соответствии с таблицей (см. таблицу значений).
Результат:
Имеем:
0,D8D16 = 13*16-1 + 8*16-2 + 13*16-3 = 13*0,0625 + 8*0,003906 + 13* 0,000244 = 0,8469210.
Расхождение полученного результата с исходным числом вызвано тем, что процедура перевода в шестнадцатеричную дробь была прервана.
Таким образом, 0,D8D16 = 0,8469210.
Упражение 11. Выполните перевод из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную числа 0,00101012 по следующим правилам:
а) исходная дробь делится на тетрады, начиная с позиции десятичной точки вправо. Если количество цифр дробной части исходного двоичного числа не кратно 4, оно дополняется справа незначащими нулями до достижения кратности 4;
б) каждая тетрада заменяется шестнадцатеричной цифрой в соответствии с таблицей (см. таблицу значений).
Результат:
Поскольку количество цифр дробной части не кратно 4, добавим справа незначащий ноль:
В соответствии с таблицей 00102 = 102 = 216 и 10102 = A16.
Тогда 0,00101012 = 0,2A16.
Упражение 12. Выполните перевод из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную числа 0,2А16. Для этого:
а) каждая цифра исходной дроби заменяется тетрадой двоичных цифр в соответствии с таблицей (см. таблицу значений);
б) незначащие нули отбрасываются.
Результат:
По таблице имеем 216 = 00102 и А16 = 10102.
Тогда 0,2А16 = 0,001010102.
Отбросим в результате незначащий ноль и получим окончательный ответ: 0,2А16 = 0,00101012.
