Практическое занятие 6. Логические высказывания
Инверсия
Упражнение 1. Инверсия - это логическая операция, которая каждому простому высказыванию ставит в соответствие составное высказывание, заключающееся в том, что исходное высказывание отрицается.
В естественном языке: соответствует словам "неверно, что..." и частице "не"
Принимаемые значения:
Пример 1. Луна — спутник Земли.
Пример 2. 10 — четное число.
Результат:
Пример 1: Луна — спутник Земли (А). Луна — не спутник Земли (¬ A)
Пример 2: 10 — четное число(A). 10 не есть четное число. (¬ A)
Дизъюнкция
Упражнение 2. Дизъюнкция - это логическая операция, которая каждым двум простым высказываниям ставит в соответствие составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны и истинным, когда хотя бы одно из двух образующих его высказываний истинно.
В естественном языке: соответствует союзу "или"
Принимаемые значения:
Пример 3. 10 делится на 2. 5 больше 3.
Пример 4. 10 не делится на 2. 5 больше 3.
истина = 1, ложь = 0
Результат:
10 делится на 2 (A - 1). 5 больше 3 (B - 1). 10 делится на 2 или 5 больше 3 (A ∨ B - 1);
10 не делится на 2 (A - 0). 5 больше 3 (B - 0). 10 не делится на 2 или 5 больше 3 (A ∨ B - 1).
Конъюнкция
Упражнение 3. Конъюнкция - это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.
В естественном языке: соответствует союзу "и"
Принимаемые значения:
Пример 5. 10 делится на 2. 5 больше 3.
Пример 6. 10 не делится на 2. 5 больше 3.
Результат:
10 делится на 2 (A - 1). 5 больше 3 (B - 1). 10 делится на 2 и 5 больше 3 (A & B - 1).
10 не делится на 2 (A - 0). 5 больше 3 (B - 0). 10 не делится на 2 и 5 больше 3 (A & B - 0).
Импликация
Упражнение 4. Импликация - это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда условие (первое высказывание) истинно, а следствие (второе высказывание) ложно.
В естественном языке: соответствует обороту "если ..., то ..."
Принимаемые значения:
A
B
A → B = F
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
Пример 7. Данный четырёхугольник — квадрат. Около данного четырёхугольника можно описать окружность.
Пример 8. Данный четырёхугольник — не квадрат. Около данного четырёхугольника можно описать окружность.
Результат:
Данный четырёхугольник — квадрат (A - 1). Около данного четырёхугольника можно описать окружность (B - 1). Если данный четырёхугольник квадрат, то около него можно описать окружность (A → B - 1).
Данный четырёхугольник — не квадрат (A - 0). Около данного четырёхугольника можно описать окружность (B - 1). Если данный четырёхугольник не квадрат, то около него можно описать окружность (A → B - 1).
Эквивалентность
Упражнение 5. Эквивалентность – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны.
В естественном языке: соответствует оборотам речи "тогда и только тогда"; "в том и только в том случае"
Принимаемые значения:
A
B
A ↔ B = F
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Пример 9. 24 делится на 6. 24 делится на 3.
Пример 10. 4 не делится на 6. 24 делится на 3.
Результат:
24 делится на 6 (A - 1). 24 делится на 3 (B - 1). 24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 3 (A ↔ B - 1).
4 не делится на 6 (A - 0). 24 делится на 3 (B - 1). 24 не делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 3 (A ↔ B - 0).
Стрелка Пирса
Упражнение 6. Стрелка Пирса - двуместная логическая операция, введена в рассмотрение Ч. Пирсом. Стрелка Пирса, обычно обозначаемая ↓.
В естественном языке: соответствует обороту "Ни А, ни В"
Принимаемые значения:
A
B
A ↓ B = F
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
1
0
Пример 11. Новое здание было ни высоким, ни низким.
Пример 12. Ни солнца мне не виден свет, ни для корней моих простору нет.
Результат:
Новое здание было ни высоким (А - 0), ни низким (В - 0). А↓В - 1
Ни солнца мне не виден свет (А - 1), ни для корней моих простору нет (В - 1). А↓В - 0
Штрих Шеффера
Упражнение 7. Штрих Шеффера - бинарная логическая операция, булева функция над двумя переменными.
В естественном языке: соответствует оборотe "А и В несовместны"
Принимаемые значения:
A
B
A | B = F
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
Пример 13. "2 х 2 = 4" и "2 х 2 = 5"
Пример 14. "6 х 3 = 21" и "3 х 6 = 18"
Результат:
Высказывания "2 х 2 = 4" (А - 1) и "2 х 2 = 5" (В - 0) несовместны А|В - 1
Высказывания "6 х 3 = 21" (А - 0) и "3 х 6 = 18" (В - 1) несовместны А|В - 1
Инверсия
Упражнение 1. Инверсия - это логическая операция, которая каждому простому высказыванию ставит в соответствие составное высказывание, заключающееся в том, что исходное высказывание отрицается.
В естественном языке: соответствует словам "неверно, что..." и частице "не"
Принимаемые значения:
Пример 1. Луна — спутник Земли.
Пример 2. 10 — четное число.
Результат:
Пример 1: Луна — спутник Земли (А). Луна — не спутник Земли (¬ A)
Пример 2: 10 — четное число(A). 10 не есть четное число. (¬ A)
Дизъюнкция
Упражнение 2. Дизъюнкция - это логическая операция, которая каждым двум простым высказываниям ставит в соответствие составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны и истинным, когда хотя бы одно из двух образующих его высказываний истинно.
В естественном языке: соответствует союзу "или"
Принимаемые значения:
Пример 3. 10 делится на 2. 5 больше 3.
Пример 4. 10 не делится на 2. 5 больше 3.
Результат:
10 делится на 2 (A - 1). 5 больше 3 (B - 1). 10 делится на 2 или 5 больше 3 (A ∨ B - 1);
10 не делится на 2 (A - 0). 5 больше 3 (B - 0). 10 не делится на 2 или 5 больше 3 (A ∨ B - 1).
Конъюнкция
Упражнение 3. Конъюнкция - это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.
В естественном языке: соответствует союзу "и"
Принимаемые значения:
Пример 5. 10 делится на 2. 5 больше 3.
Пример 6. 10 не делится на 2. 5 больше 3.
Результат:
10 делится на 2 (A - 1). 5 больше 3 (B - 1). 10 делится на 2 и 5 больше 3 (A & B - 1).
10 не делится на 2 (A - 0). 5 больше 3 (B - 0). 10 не делится на 2 и 5 больше 3 (A & B - 0).
Импликация
Упражнение 4. Импликация - это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда условие (первое высказывание) истинно, а следствие (второе высказывание) ложно.
В естественном языке: соответствует обороту "если ..., то ..."
Принимаемые значения:
| A | B | A → B = F |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Пример 7. Данный четырёхугольник — квадрат. Около данного четырёхугольника можно описать окружность.
Пример 8. Данный четырёхугольник — не квадрат. Около данного четырёхугольника можно описать окружность.
Результат:
Данный четырёхугольник — квадрат (A - 1). Около данного четырёхугольника можно описать окружность (B - 1). Если данный четырёхугольник квадрат, то около него можно описать окружность (A → B - 1).
Данный четырёхугольник — не квадрат (A - 0). Около данного четырёхугольника можно описать окружность (B - 1). Если данный четырёхугольник не квадрат, то около него можно описать окружность (A → B - 1).
Эквивалентность
Упражнение 5. Эквивалентность – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны.
В естественном языке: соответствует оборотам речи "тогда и только тогда"; "в том и только в том случае"
Принимаемые значения:
| A | B | A ↔ B = F |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Пример 9. 24 делится на 6. 24 делится на 3.
Пример 10. 4 не делится на 6. 24 делится на 3.
Результат:
24 делится на 6 (A - 1). 24 делится на 3 (B - 1). 24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 3 (A ↔ B - 1).
4 не делится на 6 (A - 0). 24 делится на 3 (B - 1). 24 не делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 3 (A ↔ B - 0).
Стрелка Пирса
Упражнение 6. Стрелка Пирса - двуместная логическая операция, введена в рассмотрение Ч. Пирсом. Стрелка Пирса, обычно обозначаемая ↓.
В естественном языке: соответствует обороту "Ни А, ни В"
Принимаемые значения:
| A | B | A ↓ B = F |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 |
Пример 11. Новое здание было ни высоким, ни низким.
Пример 12. Ни солнца мне не виден свет, ни для корней моих простору нет.
Результат:
Новое здание было ни высоким (А - 0), ни низким (В - 0). А↓В - 1
Ни солнца мне не виден свет (А - 1), ни для корней моих простору нет (В - 1). А↓В - 0
Штрих Шеффера
Упражнение 7. Штрих Шеффера - бинарная логическая операция, булева функция над двумя переменными.
В естественном языке: соответствует оборотe "А и В несовместны"
Принимаемые значения:
| A | B | A | B = F |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
Пример 13. "2 х 2 = 4" и "2 х 2 = 5"
Пример 14. "6 х 3 = 21" и "3 х 6 = 18"
Результат:
Высказывания "2 х 2 = 4" (А - 1) и "2 х 2 = 5" (В - 0) несовместны А|В - 1
Высказывания "6 х 3 = 21" (А - 0) и "3 х 6 = 18" (В - 1) несовместны А|В - 1
